ゲーム開発者の教科書：Game Programming in C++ を読んで理解したことについてを要約します（内容の転載を避け、詳しく説明しすぎないように配慮します）

ゲームプログラミング in C++

カメラ

ここでは、4種類のカメラの実装を行う（FPSカメラ、追従カメラ、軌道カメラ、スプラインカメラ）

FPSカメラ

FPSカメラ（first-person camera）は、キャラクターの視点から映すようなカメラである

PCの一人称シューターでは、キーボードとマウスを使う操作が一般的であり、WとSキーで前進と後退、AキーとDキーで左右移動（ストレイフ）、マウスの動きに合わせてビューがピッチングする

基本的な一人称の動き

キャラクターを動かす

Actor.h

左右移動のため、右方ベクトルを取得するGetRight()を追加する

Vector3 GetRight() const { return Vector3::Transform(Vector3::UnitY, mRotation); }

MoveComponent.h

左右移動の速さを表すメンバ変数mStrafeSpeedを追加する

ゲッターとセッターを追加する

float GetAngularSpeed() const { return mAngularSpeed; }
float GetForwardSpeed() const { return mForwardSpeed; }
float GetStrafeSpeed() const { return mStrafeSpeed; }	//※
void SetAngularSpeed(float speed) { mAngularSpeed = speed; }
void SetForwardSpeed(float speed) { mForwardSpeed = speed; }
void SetStrafeSpeed(float speed) { mStrafeSpeed = speed; }	//※

MoveComponent.cpp

MoveComponent::Update()

mStrafeSpeedをもとに右方ベクトルで位置を調整する

if (!Math::NearZero(mForwardSpeed) || !Math::NearZero(mStrafeSpeed)) {
		Vector3 pos = mOwner->GetPosition();
		pos += mOwner->GetForward() * mForwardSpeed * deltaTime;
		pos += mOwner->GetRight() * mStrafeSpeed * deltaTime;
		mOwner->SetPosition(pos);
	}

FPSActor.cpp

FPSActor::ActorInput()

AキーとDキーを監視して左右移動の速度を調整する

float forwardSpeed = 0.0f;
float strafeSpeed = 0.0f;
// wasd movement
if (keys[SDL_SCANCODE_W]) {
	forwardSpeed += 400.0f;
}
if (keys[SDL_SCANCODE_S]) {
	forwardSpeed -= 400.0f;
}
if (keys[SDL_SCANCODE_A]) {
	strafeSpeed -= 400.0f;
}
if (keys[SDL_SCANCODE_D]) {
	strafeSpeed += 400.0f;
}

mMoveComp->SetForwardSpeed(forwardSpeed);
mMoveComp->SetStrafeSpeed(strafeSpeed);

Game.cpp

Game::LoadData()

マウスの相対運動モードを有効にする

// Enable relative mouse mode for camera look
SDL_SetRelativeMouseMode(SDL_TRUE);

FPSActor.cpp

FPSActor::ActorInput()

SDL_GetRelativeMouseState()で移動量$(x,y)$を取得する

1フレームでの最大移動量maxMouseSpeedを設定する（ユーザー定義でもよい）

最大移動量での角速度maxAngularSpeedを設定し、角速度angularSpeedをMoveComponentに送る

// Mouse movement
// Get relative movement from SDL
int x, y;
SDL_GetRelativeMouseState(&x, &y);
// Assume mouse movement is usually between -500 and +500
const int maxMouseSpeed = 500;
// Rotation/sec at maximum speed
const float maxAngularSpeed = Math::Pi * 8;
float angularSpeed = 0.0f;
if (x != 0) {
	// Convert to ~[-1.0, 1.0]
	angularSpeed = static_cast<float>(x) / maxMouseSpeed;
	// Multiply by rotation/sec
	angularSpeed *= maxAngularSpeed;
}
mMoveComp->SetAngularSpeed(angularSpeed);

カメラ（ピッチなし）

Component派生クラスCameraComponentを作る

4種類のカメラはこのCameraComponentを派生する

CameraComponent.h

ビュー行列をレンダラとオーディオシステムに送るprotected関数SetViewMatrix()を追加する

CameraComponent.cpp

CameraComponent::SetViewMatrix()

// Pass view matrix to renderer and audio system
Game* game = mOwner->GetGame();
game->GetRenderer()->SetViewMatrix(view);
game->GetAudioSystem()->SetListener(view);

FPSCamera.cpp

CameraComponentの派生クラス

FPSCamera::Update()

Update()をオーバーライドする

カメラの位置は、所有者であるアクターの位置
ターゲットポイントは、所有アクターの前方に位置する点
上方ベクトルは$z$軸とする

Matrix4::CreateLookAt()でビュー行列を作る

ピッチ（横向きの軸での回転）を加える

FPSCamera.h

新しいメンバ変数を追加する

// Rotation/sec speed of pitch
float mPitchSpeed;
// Maximum pitch deviation from forward
float mMaxPitch;
// Current pitch
float mPitch;

上下にピッチできる量に制限mMaxPitchを加えることで、仰向けになったときの制御の不具合を防ぐ

FPSCamera.cpp

FPSCamera::Update()

現在のピッチの値を、ピッチのスピードとデルタタイムに基づいて更新する

ピッチの量が最大ピッチ（+/-）を超えないようにクランプする

ピッチを表現するクォータニオンを作る（所有アクターの右向きの軸を中心とする（ピッチの軸が所有者のヨーに依存している））

所有者の前方ベクトルをピッチのクォータニオンで変換して前方への視線viewForwardを作る

注視行列viewを作成し、ビューに設定する

FPSActor.cpp

FFPSActor::ActorInput()

ピッチのスピードをFPSCamera（CameraComponent派生クラス）に送る

// Compute pitch
const float maxPitchSpeed = Math::Pi * 8;
float pitchSpeed = 0.0f;
if (y != 0) {
	// Convert to ~[-1.0, 1.0]
	pitchSpeed = static_cast<float>(y) / maxMouseSpeed;
	pitchSpeed *= maxPitchSpeed;
}
mCameraComp->SetPitchSpeed(pitchSpeed);

一人称モデル

FPSActor.cpp

FPSActor::UpdateActor()

モデルがアニメーションするパーツ（腕や脚や武器）を持つことを考慮し、フレームごとに位置と回転を更新する

一人称モデルの位置は、FPSActorの位置にオフセットを加えたもの

回転は、FPSActorの回転にビューのピッチの回転を追加する

// Update position of FPS model relative to actor position
const Vector3 modelOffset(Vector3(10.0f, 10.0f, -10.0f));
Vector3 modelPos = GetPosition();
modelPos += GetForward() * modelOffset.x;
modelPos += GetRight() * modelOffset.y;
modelPos.z += modelOffset.z;
mFPSModel->SetPosition(modelPos);
// Initialize rotation to actor rotation
Quaternion q = GetRotation();
// Rotate by pitch from camera
q = Quaternion::Concatenate(q, Quaternion(GetRight(), mCameraComp->GetPitch()));
mFPSModel->SetRotation(q);

追従カメラ

追従カメラ（follow camera）は、ターゲットオブジェクトを後方から追いかけるカメラである

基本的な追従カメラ

基本的な追従カメラは、所有アクターを上後方から常に決まった距離で追いかける

車を追いかける追従カメラを例とすると、カメラは車の後方に水平距離で$HDist$、上方に垂直距離で$VDist$の位置に固定する

カメラの注視点は、車より$TargetDist$先の点とする

カメラの位置： $$ CameraPos = OwnerPos - OwnerForward\cdot HDist + OwnerUp\cdot VDist $$ 注視点： $$ TargetPos = OwnerPos + OwnerForward\cdot TargetDist $$

FollowCamera.h

CameraComponentの派生クラス

水平距離CameraComponent、垂直距離mVertDist、ターゲット距離mTargetDistのメンバ変数を追加する

FollowCamera::ComputeCameraPos()

カメラの位置を計算する

FollowCamera::Update()

カメラ位置と注視点を使ったビュー行列を作る

ばねを追加する

カメラの位置を"理想"のポジションと"実際"のポジションに分け、ばねで連結する

FollowCamera.h

メンバ変数mSpringConstantは、ばねの硬さを表現する

カメラの実際の位置mActualPosと速度mVelocityを追加する

FollowCamera.cpp

FollowCamera::Update()

ばね定数mSpringConstantから、ばねの減衰dampeningを計算する

“実際の位置と理想の位置との差"と"前フレームの速度"から、カメラの加速度を計算する

注視点の計算は元のままで、CreateLookAt()では実際のカメラポジションmActualPosを使う

CameraComponent::Update(deltaTime);
// Compute dampening from spring constant
float dampening = 2.0f * Math::Sqrt(mSpringConstant);
// Compute ideal position
Vector3 idealPos = ComputeCameraPos();
// Compute difference between actual and ideal
Vector3 diff = mActualPos - idealPos;
// Compute acceleration of spring
Vector3 acel = -mSpringConstant * diff - dampening * mVelocity;
// Update velocity
mVelocity += acel * deltaTime;
// Update actual camera position
mActualPos += mVelocity * deltaTime;
// Target is target dist in front of owning actor
Vector3 target = mOwner->GetPosition() + mOwner->GetForward() * mTargetDist;
// Use actual position here, not ideal
Matrix4 view = Matrix4::CreateLookAt(mActualPos, target, Vector3::UnitZ);
SetViewMatrix(view);

FollowCamera::SnapToIdeal()

カメラがゲームの開始時点で正しく動くように、SnapToIdeal()をFollowActor()の初期化時に呼び出す

軌道カメラ

軌道カメラ（orbit camera）は、ターゲットを中心として、その周りを回るカメラである

基本的な軌道カメラ

軌道を回るヨーとピッチの両方をマウスで操作する

カメラは、右マウスボタンを押している時だけ回転する

OrbitCamera.h

ターゲットからのオフセットoffset、カメラの上方ベクトルmUp、ピッチの角速度mPitchSpeed、ヨーの角速度mYawSpeedのメンバ変数を追加する

マウスによる回転操作に応じて、角速度mPitchSpeedとmYawSpeedを更新する

カメラの回転に応じて、上方ベクトルmUpを更新する必要がある（常に$(0,0,1)$ではない）

OrbitCamera.cpp

コンストラクタで、mPitchSpeedとmYawSpeedを0で初期化し、mOffsetの初期値は任意で後方400単位、mUpはワールド空間の上方$(0,0,1)$で初期化する

OrbitCamera::Update()

ヨーの回転（ワールドの上方を軸とする）クォータニオンyawを作る

yawでカメラのオフセットmOffsetと上方ベクトルmUpを変換する

カメラの前方ベクトルforwardを新しいオフセットから求める

カメラの右方ベクトルrightを、カメラの上方と前方のクロス積で求める

ピッチのクォータニオンpitchを作成し、再度オフセットmOffsetと上方ベクトルmUpを変換する

注視行列においては、カメラの注視点は所有アクターの位置、カメラポジションは注視点にオフセットを足したもの、上方はカメラの上方とする

スプラインカメラ

スプラインカメラ（spline camera）は、曲線上の点列で指定される

プレイヤーがゲームワールドを進む時、その道筋をカメラが追従するようにする用途に使われる

基本的なスプラインカメラ

Catmull-Romスプラインは、比較的計算が単純なスプライン曲線で、最小で4つの制御点が必要がある

4つの制御点がある時、$P_1$から$P_2$までの位置は、以下のパラメトリック方程式（parametric equation）で表現できる

$$ p(t) = 0.5\cdot (2P_1 + (-P_0 + P_2)t + (2P_0 - 5P_1 + 4P_2 - P_3)t^2 + (-P_0 + 3P_1 - 3P_2 + P_3)t^3) $$

$n$個の点を通るカーブを表現するのに、$n+2$個の制御点が必要になる

SprineCamera.h

スプラインを定義するSpline構造体は、制御点の配列mControlPointsをメンバデータとする

Spline::Compute()

スプライン方程式の関数

引数のstartIdxは$P_1$に対応し、引数のtは$[0.0, 1.0]$の範囲とする

SplineCamera::SplineCamera()

スプラインmPath、$P_1$に対応する現在のインデックスmIndex、現在の$t$の値mT、スピードmSpeed、カメラを経路に沿って動かすかどうかmPausedのメンバを管理する

SplineCamera::Update()

$t$の値を、スピードとデルタタイムの積だけ増やす

$t$の値が1.0以上であれば、$P_1$は経路の次の点に進む（進む際は$t$の値から1.0を引く）

もし十分な数の点がなければ、スプラインカメラは停止する

逆射影

スクリーン空間の座標からワールド空間の座標に変換する計算を逆射影（unprojection）と呼ぶ

FPSシューターの例では、スクリーン上の標準レティクルに沿って弾丸を発射する場合、狙いどおりに反射するにはスクリーン空間の座標ではなく、ワールド空間の座標が必要となる

逆射影の基本

スクリーン空間の座標の$x$と$y$の両方の成分をデバイス座標系（NDC）（$[-1,1]$の範囲に正規化）に変換する $$ ndcX = screenX/512 \quad \quad ndcY = screenY/384 $$

$[0,1]$の範囲に存在する任意の$z$座標を考慮し、デバイス座標を同次座標で表すと、 $$ ndc = (ndcX, ndcY, z, 1) $$

逆射影行列は、ビュー射影行列の逆行列となる $$ Unprojection = ((View)(Procection))^{-1} $$

NDCの座標に逆射影行列を掛けるとw成分が変化するが、各成分を$w$で割ることで再び正規化できる $$ temp = (ndc)(Unprojection) \quad \quad worldPos = \frac{temp}{temp_w} $$

Renderer.cpp

Renderer::Unproject()

ビュー行列と射影行列の両方にアクセスできる唯一のクラスであるRendererクラスに追加する

TransformWithPerspDiv()はw成分を正規化する

// Convert screenPoint to device coordinates (between -1 and +1)
Vector3 deviceCoord = screenPoint;
deviceCoord.x /= (mScreenWidth) * 0.5f;
deviceCoord.y /= (mScreenHeight) * 0.5f;

// Transform vector by unprojection matrix
Matrix4 unprojection = mView * mProjection;
unprojection.Invert();
return Vector3::TransformWithPerspDiv(deviceCoord, unprojection);

Renderer::GetScreenDirection()

3D空間のオブジェクトをクリックで選択するピッキング（picking）の操作の実装では、スクリーン空間の"ある点"に向かうベクトルを得ることで計算できる

法句おベクトルを得るため、Unproject()で始点と終点を変換する

ベクトルの引き算をした後、正規化する

// Get start point (in center of screen on near plane)
Vector3 screenPoint(0.0f, 0.0f, 0.0f);
outStart = Unproject(screenPoint);
// Get end point (in center of screen, between near and far)
screenPoint.z = 0.9f;
Vector3 end = Unproject(screenPoint);
// Get direction vector
outDir = end - outStart;
outDir.Normalize();

ゲームプロジェクト

確認

まとめ

参考文献

ゲームのカメラに関するテクニックを紹介する書籍（筆者は"メトロイドプライム"用カメラシステムの主任プログラマー）：
Real Time Cameras: A Guide for Game Designers and Developers